二分查找游戏

Alice 和 Bob 要玩二分查找游戏。游戏在一块由一行 $2^{\mathbf{L}}$ 个格子组成的棋盘上进行。
每个格子包含一个介于 $1$ 和 $\mathbf{N}$（含）之间的整数。还有 $\mathbf{N}$ 张编号为 $1$ 到 $\mathbf{N}$ 的卡片。
游戏开始前，裁判会以 ${\mathbf{M}}^{\mathbf{N}}$ 种可能方式之一，在每张卡片上写一个介于 $1$ 和 $\mathbf{M}$（含）之间的整数。
Alice 和 Bob 在开始游戏前知道格子中以及每张卡片上的整数。

游戏轮流进行，Alice 先手。总共有 $\mathbf{L}$ 回合，这意味着 Alice 进行 $\lceil \mathbf{L}/2\rceil$ 回合，Bob 进行 $\lfloor \mathbf{L}/2\rfloor$ 回合。
在某个回合中，玩家可以消除剩余格子最左的一半或最右的一半。例如，考虑一个包含数字 $[2,4,1,1,4,5,2,5]$ 的棋盘。
在她的第一回合，Alice 必须选择消除一半，留下 $[2,4,1,1]$ 或 $[4,5,2,5]$。
如果她消除最左的一半并留下 $[4,5,2,5]$，那么 Bob 必须在留下 $[4,5]$ 和 $[2,5]$ 之间选择。
如果他留下 $[2,5]$，那么游戏的最后一回合将由 Alice 在 $[2]$ 和 $[5]$ 之间选择。

游戏结束时，他们查看唯一剩余格子中的数字 $X$。游戏的*分数*是写在编号为 $X$ 的卡片上的整数。
在上面的例子中，如果 Alice 在她的最后一回合消除 $[5]$ 并留下 $[2]$，那么游戏的分数将是裁判写在编号为 $2$ 的卡片上的数字。

Alice 采取最优策略以最大化游戏分数，而 Bob 采取最优策略以最小化它。
他们给定一个固定棋盘，其格子中包含整数 ${\mathbf{A}}_1,{\mathbf{A}}_2,\dots {\mathbf{A}}_{2^{\mathbf{L}}}$。
为了最大公平性，他们将进行 ${\mathbf{M}}^{\mathbf{N}}$ 场游戏，裁判会为每场游戏选择一种不同的在卡片上写整数的方式。
也就是说，对于任何一种在卡片上写整数的方式，Alice 和 Bob 都会用它恰好进行一场游戏。
给定游戏参数和固定棋盘内容，请确定所有这些游戏分数之和。
由于输出可能非常大，我们只要求你输出将结果除以质数 $10^9+7$ ($1000000007$) 后的余数。